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Estudo das Probabilidades
· Espaço amostral: É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício (casos possíveis);
· Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);
EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas.
Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.
Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}.
2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)}
·
Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número
de casos possíveis.
P(E)
= n(E) / n(S)
n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de
elementos do espaço amostral
Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
a) As duas cartas dão damas
b) As duas cartas são de ouros
Resolução
a)
Cálculo do número de possibilidades
do espaço amostral:
1º possibilidade: 52
2º possibilidade: 51
Þ
n(U) = 52. 51 = 2652
Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.
Temos duas damas; portanto: A4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12
P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221
b)
Cálculo do número de elementos
do evento B: duas cartas de ouros.
Temos 13 cartas de ouros, portanto A13 , 2 = 13 . 12 = 156
P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17
Respostas: a)1/221 b)1/17
Adição
de probabilidades
P(AUB) =
P(A) + P(B) – P(A
B)
Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?
Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ
A = {3} Þ
n(A) = 1
ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B)
= 3
A
B = {3} Þ n(A
B) = 1
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A
B)
P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A
B)/n(U)
P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%
Resposta: 50%
Probabilidade
do evento complementar
P(A) + P(Ac) = 1
Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:
a) Ambas não estejam estragadas
b) Pelo menos uma esteja estragada
Resolução:
a)
Cálculo do número de maneiras
pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:
n(U) = (102) = 10!/2!.8! = 45 maneiras
Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:
n(A) = (72) = 7!/2!.5! = 21 maneiras
P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15
b)
Ac é o evento: pelo
menso uma furta está estragada.
P(A) + P(Ac) = 1Þ 7/15
+ P(Ac) = 1
P(Ac) = 1 – 7/15 Þ P(Ac)
= 8/15
Respostas: a) 7/15 b) 8/15
Probabilidade
condicional
P(A/B) =
n(A
B) / n(B)
Exemplo: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam física e matemática. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar física.
Resolução: n(M
F) = 5
n(M) = 45
P(F/M) = n(F
M)/n(M) = 5/45 = 1/9
Resposta: 1/9
·
Probabilidade esperada e probabilidade
observada:
Lançamento de moeda
- cara = ½ = 0.5
- coroa = ½ = 0.5
(probabilidade esperada)
·
Probabilidade de ocorrência
de um outro evento:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - eventos mutuamente exclusivos.
·
Regra do ou:
Ex: Em 1 dado qual a probabilidade de se obter os nº 2 ou 3?
P(2 ou 3) = P(2) + P(3)
= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33%
·
Probabilidade de ocorrência
de um e outro evento. (REGRA DO "E")
P(A e B) = P(A) x P(B) - "eventos independentes" ·
Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?
P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36